Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt müssen wir nur die zweite Formulierung beweisen. Für ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}\subseteq S$ gilt ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ genau dann, wenn sowohl ${}\varphi ({\mathfrak {q}})\subseteq {\mathfrak {p}}$ als auch ${}\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\subseteq S\setminus {\mathfrak {p}}$ gilt. Die erste Bedingung ist zu ${}{\mathfrak {q}}S\subseteq {\mathfrak {p}}$ und die zweite Bedingung ist zu

${}\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\cap {\mathfrak {p}}=\emptyset \,$

äquivalent.

Zur bewiesenen Aussage