Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Allgemein/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über ${}n$, der Fall ${}n=0$ ist trivial und der Fall ${}n=1$ ist der Krullsche Hauptidealsatz. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ das in Frage stehende Primideal. Wir können zur Lokalisierung übergehen und erhalten einen lokalen noetherschen Ring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}$, das (als Primideal) minimal über

${}{\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}\,$

ist. Insbesondere ist ${}{\mathfrak {m}}$ das einzige Primoberideal von ${}(f_{1},\ldots ,f_{n})$. Es ist zu zeigen, dass die Dimension des Ringes höchstens ${}n$ ist. Sei

${}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{k-1}\subset {\mathfrak {p}}_{k}={\mathfrak {m}}\,$

eine Primidealkette. Es sei ${}i$ so gewählt, dass ${}{\mathfrak {m}}$ kein minimales Primideal über ${}{\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1})$, aber ein minimales Primideal über ${}{\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1},f_{i})$ ist. Dabei ist ${}i$ zwischen ${}1$ und ${}n$. Wir betrachten die Situation modulo ${}{\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1})$. Das Primideal ${}{\mathfrak {m}}$ ist in ${}R/{\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1})$ ein minimales Primoberideal zu ${}(f_{i})$. Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzt ${}{\mathfrak {m}}$ in diesem Ring die Höhe ${}1$ (die Höhe ${}0$ ist wegen der Nichtminimalität ausgeschlossen). Es sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein minimales Primoberideal

${}{\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1})\subseteq {\mathfrak {q}}\subset {\mathfrak {m}}\,.$

Da ${}{\mathfrak {m}}$ minimal über ${}{\mathfrak {q}}+(f_{i})$ ist, besitzen diese beiden Ideale das gleiche Radikal. D.h. es gibt einen Exponenten ${}m$ derart, dass ${}f_{j}^{m}\in {\mathfrak {q}}+(f_{i})$ für alle ${}j$ gilt. Wir schreiben dies für ${}j\neq i$ als ${}f_{j}^{m}=g_{j}+h_{j}f_{i}$ mit ${}g_{j}\in {\mathfrak {q}}$. Wir betrachten das Ideal

${}{\left(g_{j},\,j\neq i\right)}\subseteq {\mathfrak {q}}\,.$

Dabei muss ${}{\mathfrak {q}}$ ein minimales Primoberideal sein, da ${}{\mathfrak {m}}$ ein minimales Primoberideal zu ${}{\left(g_{j},\,j\neq i\right)}+(f_{i})$ ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist die Höhe von ${}{\mathfrak {q}}$ höchstens ${}n-1$ und somit ist die Höhe von ${}{\mathfrak {m}}$ höchstens ${}n$.

Zur bewiesenen Aussage