Es sei ein minimales Primoberideal. Wir können an lokalisieren. Dann ist zu zeigen, dass ein lokaler noetherscher Ring, in dem das maximale Ideal minimal über einem Element ist, die Dimension
oder
besitzt. Da eine Primidealkette mit einem Primideal beginnt, können wir weiterhin annehmen, dass ein noetherscher lokaler Integritätsbereich vorliegt. Es sei jetzt angenommen, dass eine Primidealkette
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vorliegt und dass minimal über
ist. Es ist
zu zeigen. Der Restklassenring ist noethersch und besitzt die Dimension , da ja darin das einzige Primideal ist. Somit ist nach
Aufgabe
der Ring auch
artinsch,
d.h. jede absteigende Idealkette in wird stationär. Dies bedeutet wiederum, dass jede absteigende Idealkette in oberhalb von stationär wird. Wir betrachten die absteigende Idealkette
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in , wobei wir
symbolische Potenzen
verwenden, und die entsprechende absteigende Kette in . Da dieser Ring artinsch ist, wird diese Kette konstant, d.h. es gibt ein mit
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Wir behaupten, dass sogar
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gilt, wobei die Inklusion klar ist. Es sei also . Wegen der ersten Gleichung ist
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mit . Wegen ist
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Die zuletzt bewiesene Gleichheit ergibt modulo die Beziehung
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Dies bedeutet wiederum
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nach
dem Lemma von Nakayama.
Dies bedeutet in
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Dies ergibt aber, wieder nach einer Version des Lemmas von Nakyama
(siehe
Aufgabe),
zunächst
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und, da integer ist,
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und somit
.