Kommutatorgruppe/Normalteiler/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Es ist zu zeigen, dass für jedes ${}x\in G$ der Automorphismus

$G\longrightarrow G,\,g\longmapsto xgx^{-1},$

die Untergruppe ${}K(G)$ in sich selbst überführt. Für einen Kommutator ${}aba^{-1}b^{-1}$ ist

${}{\begin{aligned}xaba^{-1}b^{-1}x^{-1}&={\left(xax^{-1}\right)}{\left(xbx^{-1}\right)}{\left(xa^{-1}x^{-1}\right)}{\left(xb^{-1}x^{-1}\right)}\\&={\left(xax^{-1}\right)}{\left(xbx^{-1}\right)}{\left(xax^{-1}\right)}^{-1}{\left(xbx^{-1}\right)}^{-1}\end{aligned}}$

wieder ein Kommutator. Daher wird auch jedes Produkt von Kommutatoren auf ein Produkt von Kommutatoren abgebildet und somit ist ${}xK(G)x^{-1}\subseteq K(G)$.
(2). In der Restklassengruppe ${}G/K(G)$ ist

${}[a][b]=[a][b][b^{-1}a^{-1}ba]=[a][b][b^{-1}][a^{-1}][b][a]=[b][a]\,.$

(3). Eine Gruppe ist genau dann abelsch, wenn sämtliche Kommutatoren trivial sind.

Zur bewiesenen Aussage