Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Total beschränkt/Fakt

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Maximumsnorm. Es gelten die beiden Eigenschaften

1. ${}T$ ist gleichgradig stetig.
2. Für jeden Punkt ${}x\in X$ ist das Auswertungsbild ${}{\left\{f(x)\mid f\in T\right\}}$ beschränkt.

Dann ist ${}T$ total beschränkt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen