Kompakte Mannigfaltigkeit/Surjektive stetige Abbildung von beschränkter offener Menge/Aufgabe/Lösung

Zu jedem Punkt wählen wir eine offene Kartenumgebung mit einer Karte

mit . Dabei können wir annehmen, indem wir zu einer Ballumgebung von und dessen Urbild übergehen, dass die offene Bälle sind, deren Radius maximal ist. Die , , überdecken die Mannigfaltigkeit. Wegen der Kompaktheit von gibt es endlich viele Punkte derart, dass auch , , die Mannigfaltigkeit überdecken. Wir platzieren die offenen Bälle in („einem neuen“) , und zwar mit den Mittelpunkten

Wegen der Radiusbedingung sind diese Bälle zueinander disjunkt. Wir betrachten die beschränkte offene Menge . Die Kartenabbildungen liefern stetige Abbildungen

Wegen der Disjunktheit ergibt sich daraus durch , falls ist, eine stetige Abbildung

Wegen der Überdeckungseigenschaft ist diese surjektiv.