Kompakte Mannigfaltigkeit/x^2+y^4+z^6 ist 1/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{4}+z^{6}-1.$

Die Menge ${}M$ ist die Faser von ${}\varphi$ über ${}0$. Es ist

$\left(D\varphi \right)_{(x,y,z)}=(2x,4y^{3},6z^{5}).$

Diese Ableitung ist nur bei ${}(x,y,z)=(0,0,0)$ gleich ${}(0,0,0)$, und dies ist kein Punkt von ${}M$, sodass ${}\varphi$ in jedem Punkt von ${}M$ regulär ist. Daher liegt nach dem Satz über implizite Abbildungen eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit vor.

Als Faser einer stetigen Abbildung ist ${}M$ eine abgeschlossene Teilmenge von ${}\mathbb {R} ^{3}$. Ferner ist ${}M$ beschränkt. Für ${}(x,y,z)\in M$ ist nämlich ${}\vert {x}\vert ,\vert {y}\vert ,\vert {z}\vert \leq 1$, da andernfalls ${}x^{2}+y^{4}+z^{6}>1$ wäre. Dies impliziert die Kompaktheit.

Zur gelösten Aufgabe