Es sei
-
![{\displaystyle {}\operatorname {Per} (\gamma ):=\left(\int _{\gamma }\omega _{1},\,\ldots ,\,\int _{\gamma }\omega _{g}\right)\in {\mathbb {C} }^{g}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37a581f58bfd43e739c652206bc70cfb99125081)
der Periodenvektor zu einem geschlossenen Weg
. Zu einer Basis
von
ist zu zeigen, dass die
Vektoren
über
linear unabhängig sind. Es seien
mit
-
![{\displaystyle {}\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\operatorname {Per} (\gamma _{i})=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684cf0c9591004a8107afbc9393bd11cb8228f0b)
Dann gilt
-
![{\displaystyle {}\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}\omega _{j}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5d5a4e98114938ce23c7320e734b84c55883f7)
für alle holomorphen Basisformen. Dann gilt auch
-
![{\displaystyle {}\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}{\overline {\omega }}_{j}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/713eff6a5f5727823b82ad7fde2d4029132774a3)
für alle konjugierten Differentialformen. Die beiden Unterräume
und
erzeugen
. Somit gilt auch
-
![{\displaystyle {}\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}\int _{\gamma _{i}}c=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b662b2304771c0444fee9f98ddee5735e7a060db)
für jede Kohomologieklasse
.
Nach
Fakt
unter Verwendung der Dimensionsergebnisse und von
-
![{\displaystyle {}H_{1}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{2g}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f9fae8839444ff0e0dd08aac120d38dbef3b9b3)
ist
-
![{\displaystyle {}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\cong \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(X,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}\cong \operatorname {Hom} {\left(H_{1}(X,\mathbb {R} ),{\mathbb {C} }\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd6b4dd5c5a7ff04a87879f7a289aa885d7ab455)
Dann geht
unter jeder Auswertung auf
und muss daher selbst
sein. Somit sind alle
.