Kompakte riemannsche Fläche/Basiwahl/Jacobische Varietät/Abbildung/Definition

Natürliche Abbildung in Jacobische

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}g$ und sei ${}\omega _{1},\ldots ,\omega _{g}\in \Omega _{X/{\mathbb {C} }}$ eine ${}{\mathbb {C} }$-Basis des Vektorraumes der holomorphen Differentialformen. Es sei ${}Q\in X$ ein fixierter Punkt. Dann nennt man die Abbildung

$X\longrightarrow J(X),\,P\longmapsto \left(\int _{Q}^{P}\omega _{1},\,\ldots ,\,\int _{Q}^{P}\omega _{g}\right),$

die natürliche Abbildung in die Jacobische. Dabei ist ein stetiger Weg von ${}Q$ nach ${}P$ zu wählen.