Kompakte riemannsche Fläche/Endlich viele Punkte/Eingeschränkter Schnittring/Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche, seien ${}P_{1},\ldots ,P_{k}\in X$ Punkte auf ${}X$ und sei ${}D=\sum _{i=1}^{k}P_{i}$ der Divisor, ${}k\geq 1$. Es sei

${}R_{D}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}=\Gamma {\left(X\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{k}\},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\cap \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\,,$

vergleiche Aufgabe. Zeige, dass ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ der Quotientenkörper von ${}R$ ist.

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