Kompakte riemannsche Fläche/Geschlecht 1/Divisor Grad 4/Relation/Aufgabe/Lösung

1. Für jede invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ von positivem Grad auf einer riemannschen Fläche vom Geschlecht ${}1$ ist nach Aufgabe die erste Kohomologie gleich ${}0$ und nach Riemann-Roch ist daher

   ${}h^{0}(X,{\mathcal {L}})=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})\,.$

   Wenn speziell ${}D$ den Grad ${}4$ besitzt, so ist der Raum ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ vierdimensional.

2. Nach Teil (1) ist der Raum ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(2D)\right)}$ achtdimensional. Die Basis ${}x,y,z,w$ von ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ definiert mit Aufgabe Elemente ${}x^{2},y^{2},z^{2},w^{2},xy,xz,xw,yz,yw,zw$ in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(2D)\right)}$. Dies sind zehn Elemente in einem achtdimensionalen Vektorraum, also müssen sie zumindest zwei linear unabhängige lineare Relationen erfüllen.

Zur gelösten Aufgabe