Kompakte riemannsche Fläche/Jacobische Varietät/Dualraum/Bemerkung

Die Jacobische Varietät zu einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ vom Geschlecht ${}g$ lässt sich folgendermaßen unabhängig von einer Basis der holomorphen Differentialformen konstruieren. Es bezeichne ${}{\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}$ der Dualraum zum Vektorraum der globalen holomorphen Differentialformen, der wie dieser die Dimension ${}g$ besitzt. Wir betrachten die Abbildung

$\pi _{1}(X)\longrightarrow {\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*},\,\gamma \longmapsto {\left(\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega \right)}.$

Diese Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus und das Bild ist ein Gitter ${}\Gamma$, die Restklassengruppe ${}{\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}/\Gamma$ ist ein basisunabhängiges Modell für die Jacobische. Wenn ${}\omega _{1},\ldots ,\omega _{g}$ eine Basis ist, so liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}\pi _{1}(X)&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&{\mathbb {C} }^{g}&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

wobei der vertikale Pfeil eine Linearform ${}\ell \colon \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf das Auswertungstupel ${}\left(\ell (\omega _{1}),\,\ldots ,\,\ell (\omega _{g})\right)$ abbildet. Dabei wird ${}\Gamma$ in das Periodengitter überführt. Die natürliche Abbildung wird in diesem Setting bei gegebenem Basispunkt ${}Q\in X$ zu

$X\longrightarrow {\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}/\Gamma ,\,P\longmapsto {\left(\omega \mapsto \int _{Q}^{P}\omega \right)},$

wobei ein verbindender Weg von ${}Q$ nach ${}P$ zu wählen ist.