Komplex-differenzierbare Funktion/Potenzreihenentwicklung/Koeffizientenformel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Zur Notationsvereinfachung sei . Nach der Integralformel gilt für jedes

mit einem einfachen Umlaufweg

um in . Nach Fakt gilt auch

mit einem Umlaufweg um in , wobei gelten und im Innern dieses Kreises sein muss. Wir schreiben den Integranden als

Hierbei ist auf dem Kreis (bzw. auf dem Intervall) beschränkt und daher konvergiert diese Reihe für festes absolut und (als Funktion in ) gleichmäßig gegen die Grenzfunktion. Nach Fakt (angewendet auf Real- und Imaginärteil), kann man den Grenzwert der Reihe mit dem Integral vertauschen, daher ist

Da dies für jedes im Innern der Kreisscheibe gilt und die Koeffizienten unabhängig von sind, liegt eine beschreibende konvergente Potenzreihe vor.