Komplexe Einheitengruppe/Restklassengruppe zu Kreis und R +/Beispiel

Wir betrachten die Einheitengruppe von ${}{\mathbb {C} }$, also ${}({\mathbb {C} }^{\times },1,\cdot )$. Zur Untergruppe ${}\mathbb {R} _{+}\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ ist die Abbildung

$S^{1}={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }/\mathbb {R} _{+}$

ein Isomorphismus, die Restklassengruppe ist also isomorph zur Kreisgruppe. Der Kern der Gesamtabbildung besteht aus dem Durchschnitt

${}S^{1}\cap \mathbb {R} _{+}=\{1\}\,,$

daher ist die Abbildung nach Fakt injektiv. Zum Beweis der Surjektivität müssen wir zeigen, dass die Äquivalenzklasse zu jedem ${}x\in {\mathbb {C} }^{\times }$ durch ein Element des Einheitskreises repräsentiert werden kann. Hierzu kann man ${}{\frac {x}{\vert {x}\vert }}$ nehmen.

Zur Untergruppe ${}S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ ist die Abbildung

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }/S^{1}$

bijektiv, die Restklassengruppe ist also isomorph zur Gruppe der positiven reellen Zahlen. Die Injektivität ergibt sich wie eben. Die Surjektivität ergibt sich daraus, dass ${}x\in {\mathbb {C} }^{\times }$ zu ${}\vert {x}\vert$ (bezüglich der Untergruppe ${}S^{1}$) äquivalent ist.