Komplexe Exponentialabbildung/Reelle Umkehrabbildung/Aufgabe

Wir betrachten die auf

${}U={\left\{u+{\mathrm {i} }v\mid u\neq 0\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}\,$

$\psi \colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },\,u+{\mathrm {i} }v\longmapsto {\frac {1}{2}}\ln \left(u^{2}+v^{2}\right)+{\mathrm {i} }\arctan {\frac {v}{u}}.$

1. Begründe, dass ${}\psi$ stetig partiell differenzierbar ist.
2. Bestimme die Jacobimatrix zu ${}\psi$.
3. Zeige, dass ${}\psi$ die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt.
4. Zeige, dass ${}\psi$ lokal eine Umkehrabbildung zur komplexen Exponentialfunktion ist.

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