Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktionen/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Einführung/Textabschnitt

Die komplexen Zahlen bilden einen zweidimensionalen reellen Vektorraum mit der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$. Entsprechend kann man eine auf einer (zumeist offenen) Teilmenge ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ definerte Funktion ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ auch als eine Abbildung ${}G\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ auffassen und die komplexe Differenzierbarkeit in der einen Variablen ${}z$ mit der reellen partiellen Differenzierbarkeit der beiden Komponentenfunktionen bezüglich der reellen Koordinaten ${}x$ und ${}y$ in Beziehung setzen. Beispielsweise ist das komplexe Quadrieren in reellen Koordinaten die Abbildung

$\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2},\,z=x+y{\mathrm {i} }\longmapsto z^{2}=x^{2}-y^{2}+2xy{\mathrm {i} },$

bzw., direkt in Spaltenschreibweise,

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}x^{2}-y^{2}\\2xy\end{pmatrix}}.$

Die Bedingungen in der folgenden Aussage heißen die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.

Satz

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine im Punkt ${}P\in G$ reell total differenzierbare Abbildung. Es sei ${}f=g+{\mathrm {i} }h$ mit reellwertigen Funktionen ${}g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Sei ${}z=x+{\mathrm {i} }y$.

Dann ist ${}f$ genau dann in ${}P$ komplex differenzierbar, wenn für die reellen partiellen Ableitungen die Beziehungen

${\frac {\partial g}{\partial y}}(P)=-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P){\text{ und }}{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)={\frac {\partial g}{\partial x}}(P)$

gelten.

Beweis

Die reelle Jacobi-Matrix von ${}(x,y)\mapsto (g(x,y),h(x,y))$ im Punkt ${}P$ ist

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}.$

Diese beschreibt eine reell-lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

bezüglich der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ und die komplexe Differenzierbarkeit bedeutet, dass sie auch komplex-linear ist. Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl ${}a+b{\mathrm {i} }$ wird reell durch die Matrix

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$

beschrieben, und die Bedingungen im Satz beschreiben genau diese Beziehungen.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}x^{2}-y^{2}\\2xy\end{pmatrix}},$

die dem komplexen Quadrieren entspricht. Die Jacobi-Matrix davon ist

${\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix}}.$

Diese erfüllt die Symmetriebedingungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in jedem Punkt, die ja nach Fakt für jede komplex-differenzierbare Abbildung gelten müssen.

Beispiel

Wir betrachten die differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}x^{2}+y^{2}\\2xy\end{pmatrix}},$

die dem komplexen Quadrieren entspricht. Die Jacobi-Matrix davon ist

${\begin{pmatrix}2x&2y\\2y&2x\end{pmatrix}}.$

Diese erfüllt von den beien Symmetriebedingungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen nur die eine, dass in der Hauptdiagonalen die gleichen Werte stehen, während die Werte in der Gegendiagonalen nicht negativ zueinander sind. Nach Fakt kann diese Abbildung also nicht von einer komplex-differenzierbaren Abbildung

$\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C}$

herrühren. Allerdings liegt für die Punkte mit ${}y=0$ komplexe Differenzierbarkeit vor.