Zwei reelle Polynome in zwei Variablen/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Beispiel

Wir betrachten die differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}x^{2}+y^{2}\\2xy\end{pmatrix}},$

die dem komplexen Quadrieren entspricht. Die Jacobi-Matrix davon ist

${\begin{pmatrix}2x&2y\\2y&2x\end{pmatrix}}.$

Diese erfüllt von den beien Symmetriebedingungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen nur die eine, dass in der Hauptdiagonalen die gleichen Werte stehen, während die Werte in der Gegendiagonalen nicht negativ zueinander sind. Nach Fakt kann diese Abbildung also nicht von einer komplex-differenzierbaren Abbildung

$\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C}$

herrühren. Allerdings liegt für die Punkte mit ${}y=0$ komplexe Differenzierbarkeit vor.