Komplexes Quadrieren/Reell/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Beispiel

Wir betrachten die differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}x^{2}-y^{2}\\2xy\end{pmatrix}},$

die dem komplexen Quadrieren entspricht. Die Jacobi-Matrix davon ist

${\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix}}.$

Diese erfüllt die Symmetriebedingungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in jedem Punkt, die ja nach Fakt für jede komplex-differenzierbare Abbildung gelten müssen.