Komplexe Exponentialfunktion/Reelle Basis/Rechenregeln/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass für die Exponentialfunktionen

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto a^{z},$

zur Basis ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ die folgenden Rechenregeln gelten (dabei seien $a,b\in \mathbb {R} _{+}$ und $z,w\in {\mathbb {C} }$, bei (4) sei zusätzlich $z\in \mathbb {R}$).

1. ${}a^{z+w}=a^{z}\cdot a^{w}$.
2. ${}a^{-z}={\frac {1}{a^{z}}}$.
3. ${}(ab)^{z}=a^{z}b^{z}$.
4. ${}(a^{z})^{w}=a^{zw}$.

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