Start
Zufällige Seite
Anmelden
Einstellungen
Spenden
Über Wikiversity
Haftungsausschluss
Suchen
Komplexe Exponentialfunktion/Skalarprodukt/Abschätzung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
Sprache
Beobachten
Bearbeiten
<
Komplexe Exponentialfunktion/Skalarprodukt/Abschätzung/Fakt
|
Beweis
|
Aufgabe
Es ist
|
e
i
⟨
u
,
v
1
⟩
−
e
i
⟨
u
,
v
2
⟩
|
=
|
e
i
⟨
u
,
v
1
⟩
|
⋅
|
e
−
i
⟨
u
,
v
1
⟩
⋅
(
e
i
⟨
u
,
v
1
⟩
−
e
i
⟨
u
,
v
2
⟩
)
|
=
|
1
−
e
i
⟨
u
,
v
2
−
v
1
⟩
|
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{1}\right\rangle }-e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{2}\right\rangle }}\vert &=\vert {e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{1}\right\rangle }}\vert \cdot \vert {e^{-{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{1}\right\rangle }\cdot {\left(e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{1}\right\rangle }-e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{2}\right\rangle }\right)}}\vert \\&=\vert {1-e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{2}-v_{1}\right\rangle }}\vert .\end{aligned}}}
Nach
Aufgabe
ist
|
1
−
e
i
⟨
u
,
v
2
−
v
1
⟩
|
≤
|
⟨
u
,
v
2
−
v
1
⟩
|
{\displaystyle {}\vert {1-e^{{\mathrm {i} }\left\langle u,v_{2}-v_{1}\right\rangle }}\vert \leq \vert {\left\langle u,v_{2}-v_{1}\right\rangle }\vert \,}
und nach
Fakt
ist dies
≤
‖
u
‖
⋅
‖
v
2
−
v
1
‖
{\displaystyle {}\leq \Vert {u}\Vert \cdot \Vert {v_{2}-v_{1}}\Vert }
.
Zur gelösten Aufgabe