Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangentialklassen und C^n unter Karte/Fakt

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit, ${}P\in M$ ein Punkt und ${}\alpha \colon U\rightarrow V$ eine Karte. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Abbildung

   $T_{p}M\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n},\,[\gamma ]\longmapsto {\left(\alpha \circ \gamma {|}_{\gamma ^{-1}(U)}\right)}'(0),$

   ist eine wohldefinierte Bijektion.

2. Die durch diese Abbildung auf ${}T_{p}M$ definierte ${}{\mathbb {C} }$-Vektorraumstruktur ist unabhängig von der gewählten Karte.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen