Komplexe Mannigfaltigkeit/Normale Überlagerung/Differenzierbare Funktion/Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine holomorphe Überlagerung zwischen den komplexen Mannigfaltigkeiten ${}X$ und ${}Y$.

1. Zeige, dass zu einer ${}{\mathbb {C} }$-wertigen unendlich oft reell-differenzierbaren Funktion ${}h\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ die nach ${}Y$ zurückgezogene Funktion

   ${}g:=h\circ p\,$

   die Eigenschaft besitzt, dass für jede Decktransformation ${}\theta \colon Y\rightarrow Y$ die Gleichheit

   ${}g\circ \theta =g\,$

   gilt.

2. Die Überlagerung sei nun normal. Es sei

   $g\colon Y\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass für jede Decktransformation ${}\theta$ die Identität ${}g\circ \theta =g$ gilt. Zeige, dass es eine differenzierbare Funktion ${}h\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}g=h\circ p$ gibt.

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