Komplexe Partialbruchzerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Division mit Rest liefert eine eindeutige Darstellung

{}{\frac {P}{Q}}=H+{\frac {\tilde {P}}{Q}}\,

mit ${}\operatorname {grad} \,({\tilde {P}})<\operatorname {grad} \,(Q)$ . Wir müssen daher die Aussage nur für Quotienten aus Polynomen zeigen, bei denen der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist. Wir führen Induktion über den Grad ${}r=\sum _{i=1}^{s}r_{i}$ des Nennerpolynoms. Bei ${}r=0,1$ ist nichts zu zeigen, denn der Quotient steht bereits in der gewünschten Form. Es sei nun ${}Q$ ein Nennerpolynom vom Grad ${}r$ und die Aussage sei für kleineren Grad bereits bewiesen. Es sei ${}X-a_{1}$ ein Linearfaktor von ${}Q$ , sodass wir

{}Q={\tilde {Q}}(X-a_{1})\,

schreiben können, wobei ${}{\tilde {Q}}$ den Grad ${}r-1$ besitzt. Die Ordnung von ${}X-a_{1}$ in ${}Q$ sei ${}r_{1}$ . Wir setzen

{}{\frac {P}{Q}}={\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+{\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}\,

an. Dies führt auf

{}P=c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}+{\tilde {P}}(X-a_{1})\,,

aus der wir ${}c_{1r_{1}}$ und ${}{\tilde {P}}$ bestimmen wollen. Da die Gleichheit insbesondere für ${}X=a_{1}$ gelten soll, muss

{}c_{1r_{1}}={\frac {P(a_{1})}{(a_{1}-a_{2})^{r_{2}}\cdots (a_{1}-a_{s})^{r_{s}}}}\,

sein, wobei diese Division erlaubt ist, da die ${}a_{i}$ als verschieden vorausgesetzt worden sind. Wir betrachten nun

P-c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}

mit dem soeben bestimmten Wert ${}c_{1r_{1}}$ . Für diese Differenz ist dann ${}a_{1}$ nach Konstruktion eine Nullstelle, sodass man nach Fakt durch ${}X-a_{1}$ teilen kann, also