Komplexe Potenzreihe/Nullreihe/Offen und abgeschlossen/Aufgabe/Lösung


Es sei die durch die Potenzreihe gegebene Funktion auf . Wir betrachten die Menge

Nach Voraussetzung gehört zu , die Menge ist also nicht leer. Die Menge ist offen: Wenn ist, und also die umentwickelte Reihe auf die Nullreihe ist, so gilt dies auch für alle Punkte . Die Menge ist aber auch abgeschlossen. Es sei eine Folge in , die gegen konvergiere. Da die Potenzreihen mit Entwicklungspunkt die Nullreihen sind, ist insbesondere . Für die Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ergibt sich also, dass der Entwicklungspunkt ein Häufungspunkt der Nullstellen ist. Daraus folgt nach Fakt,

dass diese Potenzreihe ebenfalls die Nullreihe ist, also zu gehört. ist also offen und abgeschlossen und nicht leer, also ist es ganz .