Komplexe Potenzreihen/Summe/Produkt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und ${}g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum ${}r$ sei. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit ${}c_{n}=a_{n}+b_{n}$ ist konvergent auf ${}U{\left(0,r\right)}$ und stellt dort die Summenfunktion ${}f+g$ dar.
2. Die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}z^{n}$ mit ${}d_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ ist konvergent auf ${}U{\left(0,r\right)}$ und stellt dort die Produktfunktion ${}fg$ dar.

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