Komplexe Reihen/Konvergenz/Zusammenfassung/Textabschnitt

Definition

Man sagt, dass eine Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ von komplexen Zahlen ${}a_{n}$ konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen

${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,$

konvergiert.

Lemma

Es seien

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

konvergente Reihen von komplexen Zahlen mit den Summen ${}s$ und ${}t$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ mit ${}c_{n}=a_{n}+b_{n}$ ist ebenfalls konvergent mit der Summe ${}s+t$.
2. Für ${}\lambda \in {\mathbb {C} }$ ist auch die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}$ mit ${}d_{n}=\lambda a_{n}$ konvergent mit der Summe ${}\lambda s$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

eine Reihe von komplexen Zahlen.

Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq m=n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

eine konvergente Reihe von komplexen Zahlen.

Dann ist

${}\lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}=0\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Definition

Eine Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }\vert {a_{k}}\vert$

konvergiert.

Lemma

Es sei ${}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und ${}{\left(a_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge komplexer Zahlen mit ${}\vert {a_{k}}\vert \leq b_{k}$ für alle ${}k$.

Dann ist die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

absolut konvergent.

Beweis

Das folgt direkt aus dem Cauchy-Kriterium.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ eine absolut konvergente komplexe Reihe.

Dann konvergiert jede Umordnung der Reihe gegen den gleichen Grenzwert.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

eine Reihe von komplexen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl ${}q$ mit ${}0\leq q<1$ und ein ${}k_{0}$ mit

${}\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$

für alle ${}k\geq k_{0}$ (Insbesondere sei ${}a_{k}\neq 0$ für ${}k\geq k_{0}$).

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ eine komplexe Reihe. Es gebe ein reelles ${}q$, ${}0\leq q<1$, mit

${}{\sqrt[{n}]{\vert {a_{n}}\vert }}\leq q\,$

für alle ${}n$.

Dann konvergiert die Reihe absolut.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Definition

Zu Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ komplexer Zahlen heißt die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$

das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.

Lemma

Es seien

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

zwei absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen.

Dann ist auch das Cauchy-Produkt ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt

${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$