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Komplexe Zahl/Berechnung der Quadratwurzel/Explizit für b nichtnegativ/Aufgabe/Lösung
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Komplexe Zahl
|
Berechnung der Quadratwurzel/Explizit für b nichtnegativ/Aufgabe
Es ist
u
2
=
(
1
2
(
|
z
|
+
a
+
i
|
z
|
−
a
)
)
2
=
1
2
(
|
z
|
+
a
−
(
|
z
|
−
a
)
+
2
i
(
|
z
|
+
a
)
(
|
z
|
−
a
)
)
=
1
2
(
2
a
+
2
i
|
z
|
2
−
a
2
)
=
1
2
(
2
a
+
2
i
b
2
)
=
1
2
(
2
a
+
2
i
b
)
=
a
+
b
i
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}u^{2}&={\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\right)}^{2}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\vert {z}\vert +a-{\left(\vert {z}\vert -a\right)}+2{\mathrm {i} }{\sqrt {{\left(\vert {z}\vert +a\right)}{\left(\vert {z}\vert -a\right)}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert ^{2}-a^{2}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }{\sqrt {b^{2}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }b\right)}\\&=a+b{\mathrm {i} }.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe
