Komplexe Zahlen/Achsenkreuz/Nullstellengebilde/Riemannsche Fläche/Beispiel

Wir betrachten die holomorphe Funktion ${}a_{0}(z)=z^{2}$ auf ${}{\mathbb {C} }$ und dazu das Polynom

${}t^{2}-a_{0}(z)=t^{2}-z^{2}=(t-z)(t+z)\,.$

Das Nullstellengebilde

${}V=V(t^{2}-z^{2})\subset {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }\,$

ist die Vereinigung von zwei komplexen Ebenen, die sich im singulären Punkt ${}(0,0)$ kreuzen, es liegt das komplexe Achsenkreuz vor. Das glatte Nullstellengebilde ist

${}W=V\setminus \{(0,0)\}={\left({\mathbb {C} }\setminus \{0\}\right)}\uplus {\left({\mathbb {C} }\setminus \{0\}\right)}\,,$

die disjunkte Vereinigung von zwei punktierten komplexen Zahlengeraden (also Gaußsche Zahlenebenen) und ist insbesondere nicht zusammenhängend. Dies ist auch das unverzweigte Nullstellengebilde.