Komplexe Zahlen/Differenzierbare 1-Formen/Beispiel

Auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ mit der Variablen ${}z$ ist ${}dz$ diejenige holomorphe Differentialform, die in jedem Punkt die Identität auf (dem Tangentialraum) ${}{\mathbb {C} }$ ist und ${}d\,{\overline {z}}$ ist diejenige differenzierbare Differentialform, die in jedem Punkt die komplexe Konjugation auf ${}{\mathbb {C} }$ ist. Eine beliebige reell-differenzierbare Differentialform ${}\omega$ auf ${}U$ besitzt die Darstellung

${}\omega =fdz+gd\,{\overline {z}}\,$

mit komplexwertigen ${}C^{\infty }$-Funktionen ${}f$ und ${}g$ auf ${}U$, und dies ist die Zerlegung von ${}\omega$ im Sinne von Fakt. Die Form ist vom Typ ${}(1,0)$ genau dann, wenn ${}g=0$ ist. In diesem Fall ist die Form genau dann holomorph, wenn ${}f$ eine holomorphe Funktion ist.