Komplexe Zahlen/Gebrochen-lineare Funktion/Verknüpfungseigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}$ eine zweite Matrix, die zugehörigen linear-gebrochen Funktionen seien ${}\varphi$ und ${}\psi$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\psi (\varphi (z))&=\psi {\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}\\&={\frac {e{\frac {az+b}{cz+d}}+f}{g{\frac {az+b}{cz+d}}+h}}\\&={\frac {e{\left(az+b\right)}+f{\left(cz+d\right)}}{g{\left(az+b\right)}+h{\left(cz+d\right)}}}\\&={\frac {{\left(ae+cf\right)}z+be+df}{{\left(ag+ch\right)}z+bg+dh}}.\end{aligned}}$

Dies ist die gebrochen-lineare Funktion, die zur Produktmatrix

${}{\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ae+cf&be+df\\ag+ch&bg+dh\end{pmatrix}}\,$

gehört.

Zu einer Streckungsmatrix ${}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}$ gehört die gebrochen-lineare Funktion ${}z\mapsto {\frac {sz}{s}}=z$, also die Identität. Es sei ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ eine invertierbare Matrix derart, dass die zugehörige gebrochen-lineare Funktion ${}\varphi$ die Identität ist. Dann ist insbesondere

${}\varphi (0)={\frac {b}{d}}=0\,,$

woraus ${}b=0$ folgt. Aus

${}\varphi (1)={\frac {a}{c+d}}=1\,$

und

${}\varphi (2)={\frac {2a}{2c+d}}=2\,$

folgt ${}c=0$ und dann auch ${}a=d$.

Zur bewiesenen Aussage