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Komplexe Zahlen/Konjugation Realteil Betrag/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
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Komplexe Zahlen
|
Konjugation Realteil Betrag/Fakt
|
Beweis/Aufgabe
Sei
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle {}z=a+b{\mathrm {i} }}
.
Es ist
|
z
|
=
a
2
+
b
2
=
(
a
+
b
i
)
(
a
−
b
i
)
=
z
z
¯
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {z}\vert &={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\&={\sqrt {(a+b{\mathrm {i} })(a-b{\mathrm {i} })}}\\&={\sqrt {z\ {\overline {z}}}}.\end{aligned}}}
Es ist
z
+
z
¯
2
=
a
+
b
i
+
a
−
b
i
2
=
2
a
2
=
a
=
Re
(
z
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {z+{\overline {z}}}{2}}&={\frac {a+b{\mathrm {i} }+a-b{\mathrm {i} }}{2}}\\&={\frac {2a}{2}}\\&=a\\&=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}.\end{aligned}}}
Es ist
z
−
z
¯
2
i
=
a
+
b
i
−
(
a
−
b
i
)
2
i
=
2
b
i
2
i
=
b
=
Im
(
z
)
.
{\displaystyle {}{\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {a+b{\mathrm {i} }-{\left(a-b{\mathrm {i} }\right)}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {2b{\mathrm {i} }}{2{\mathrm {i} }}}=b=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\,.}
Ist klar.
Sei
z
≠
0
{\displaystyle {}z\neq 0}
. Dann ist unter Verwendung von Teil (1)
z
⋅
z
¯
|
z
|
2
=
z
⋅
z
¯
|
z
|
2
=
z
⋅
z
¯
z
⋅
z
¯
=
1
,
{\displaystyle {}{\begin{aligned}z\cdot {\frac {\overline {z}}{\vert {z}\vert ^{2}}}&={\frac {z\cdot {\overline {z}}}{\vert {z}\vert ^{2}}}\\&={\frac {z\cdot {\overline {z}}}{z\cdot {\overline {z}}}}\\&=1,\end{aligned}}}
also sind
z
{\displaystyle {}z}
und
z
¯
|
z
|
2
{\displaystyle {}{\frac {\overline {z}}{\vert {z}\vert ^{2}}}}
invers zueinander.
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