Komplexe Zahlen/Kreisring/Biholomorphe Abbildungen/Einführung/Textabschnitt

Es wird also aus einer größeren offenen Kreisscheibe eine kleinere konzentrische abgeschlossene Kreisscheibe herausgenommen. Die Offenheit beruht auf der Beschreibung

Definition

Es sei ${}a\in {\mathbb {C} }$ und ${}0\leq r<R$ reelle Zahlen. Unter dem offenen Kreisring versteht man die Menge

${}U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\setminus B\left(a,r\right)\,.$

${}U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\cap {\left({\mathbb {C} }\setminus B\left(a,r\right)\right)}\,.$

Statt Kreisring sagt man auch Annulus. Die reellen Zahlen ${}r$ und ${}R$ heißen die Radien des Kreisringes, oft erlaubt man für den oberen Radius auch ${}\infty$. Der Fall ${}r=0$ ist ausdrücklich erlaubt, dann wird nur der eine Punkt ${}\{a\}$ herausgenommen. Häufig nimmt man ${}0$ als Mittelpunkt, dann schreibt man einfach ${}U(r,R)$.

Definition

Es sei ${}a\in {\mathbb {C} }$ und ${}r>0$ eine reelle Zahl. Unter der punktierten Kreisscheibe (mit Mittelpunkt ${}a$ und Radius ${}r$) versteht man die Menge

$U{\left(a,r\right)}\setminus \{a\}.$

Die punktierte Kreisscheibe ist ein spezieller offener Kreisring, wobei der kleinere Radius gleich ${}0$ ist.

Lemma

Jeder offene Kreisring ${}U(a,r,R)$, ${}R\in \mathbb {R} _{+}$,

ist biholomorph zu einem Kreisring der Form ${}U(0,s,1)$ mit

${}0\leq s={\frac {r}{R}}<1\,.$

Beweis

Durch eine Verschiebung erhält man den offenen Kreisring ${}U(0,r,R)$. Durch Multiplikation mit ${}{\frac {1}{R}}$ geht dieser in den Kreisring ${}U(0,{\frac {r}{R}},1)$ über.

$\Box$

Der nach außen unbeschränkte Kreisring ist zur punktierten Kreisscheibe biholomorph, siehe Aufgabe.

Lemma

Es sei ${}U(r,R)$ der offene Kreisring zu den Radien ${}0<r<R$ um den Nullpunkt.

Dann induziert die komplexe Invertierung eine biholomorphe Abbildung

$U(r,R)\longrightarrow U(R^{-1},r^{-1}).$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$