Rationale Funktionen/C/Ableitungseigenschaften/Partialbruchzerlegung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu Polynomen ${}P,Q\in {\mathbb {K} }[X]$, ${}Q\neq 0$, heißt die Funktion

$D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$

wobei ${}D$ das Komplement der Nullstellen von ${}Q$ ist, eine rationale Funktion.

Polynomfunktionen sind insbesondere rationale Funktionen. Die einfachste rationale Funktion, die keine Polynomfunktion ist, ist die komplexe Invertierung

${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto z^{-1}.$

Sie ist im Nullpunkt nicht definiert und lässt sich im Nullpunkt auch nicht stetig fortsetzen. Dies beruht darauf, dass sich auch die zugehörige Betragsfunktion, also

${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto {\frac {1}{\vert {z}\vert }},$

nicht stetig fortsetzen lässt. Reell betrachtet handelt es sich um die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},$

und für jede Folge, die in der Ebene gegen ${}(0,0)$ konvergiert, divergiert die Bildfolge bestimmt gegen ${}+\infty$. Für jede endliche Punktmenge ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in {\mathbb {C} }$ ist die rationale Funktion

${\frac {1}{(z-a_{1})(z-a_{2})\cdots (z-a_{n})}}$

eine auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ definierte rationale Funktion, die sich in die Punkte ${}a_{i}$ nicht stetig fortsetzen kann.

Lemma

Es seien ${}P,Q\in {\mathbb {K} }[X]$ Polynome und es sei ${}U:={\left\{z\in {\mathbb {K} }\mid Q(z)\neq 0\right\}}$.

Dann ist die rationale Funktion

$U\longrightarrow {\mathbb {K} },\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$

differenzierbar mit der Ableitung

${}{\left({\frac {P(z)}{Q(z)}}\right)}'={\frac {P'(z)Q(z)-P(z)Q'(z)}{Q(z)^{2}}}\,.$

Beweis

Dies folgt aus Fakt und der Quotientenregel.

$\Box$

Lemma

Für ${}a\in {\mathbb {K} }$ ist die (auf ${}{\mathbb {K} }\setminus \{a\}$ definierte) rationale Funktion ${}(z-a)^{n}$ mit ${}n\in \mathbb {Z} _{-}$

differenzierbar, mit der Ableitung

${}{\left((z-a)^{n}\right)}'=n(z-a)^{n-1}\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

$\Box$

Damit gilt diese Formel für alle Potenzen einer normierten Linearform mit einem ganzzahligen Exponenten. Im reellen Fall gilt sie auch für beliebige reelle positive Argumente und beliebige reelle Exponenten, siehe Fakt. Im komplexen Fall ist ein Ausdruck wie

${}{\sqrt {z}}=z^{1/2}\,$

gar nicht definiert, und lässt sich auch nicht komplex-differenzierbar auf ganz ${}{\mathbb {C} }$ definieren.

Eine rationale Funktion wie ${}{\frac {1}{(z-a_{1})(z-a_{2})\cdots (z-a_{n})}}$ ist keine ganze Funktion. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra ergibt sich, dass eine rationale Funktion nur dann ganz ist, wenn sie ein Polynom ist.

Der folgende Satz heißt Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.

Satz

Es seien ${}P,Q\in {\mathbb {C} }[X]$, ${}Q\neq 0$, Polynome und es sei

${}Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}\,$

mit verschiedenen ${}a_{i}\in {\mathbb {C} }$.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom ${}H\in {\mathbb {C} }[X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten ${}c_{ij}\in {\mathbb {C} }$, ${}1\leq i\leq s$, ${}1\leq j\leq r_{i}$, mit

${}{\frac {P}{Q}}=H+{\frac {c_{11}}{X-a_{1}}}+{\frac {c_{12}}{(X-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+\cdots +{\frac {c_{s1}}{X-a_{s}}}+{\frac {c_{s2}}{(X-a_{s})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{sr_{s}}}{(X-a_{s})^{r_{s}}}}\,.$

Beweis

Die Division mit Rest liefert eine eindeutige Darstellung

${}{\frac {P}{Q}}=H+{\frac {\tilde {P}}{Q}}\,$

mit ${}\operatorname {grad} \,({\tilde {P}})<\operatorname {grad} \,(Q)$. Wir müssen daher die Aussage nur für Quotienten aus Polynomen zeigen, bei denen der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist. Wir führen Induktion über den Grad ${}r=\sum _{i=1}^{s}r_{i}$ des Nennerpolynoms. Bei ${}r=0,1$ ist nichts zu zeigen, denn der Quotient steht bereits in der gewünschten Form. Es sei nun ${}Q$ ein Nennerpolynom vom Grad ${}r$ und die Aussage sei für kleineren Grad bereits bewiesen. Es sei ${}X-a_{1}$ ein Linearfaktor von ${}Q$, sodass wir

${}Q={\tilde {Q}}(X-a_{1})\,$

schreiben können, wobei ${}{\tilde {Q}}$ den Grad ${}r-1$ besitzt. Die Ordnung von ${}X-a_{1}$ in ${}Q$ sei ${}r_{1}$. Wir setzen

${}{\frac {P}{Q}}={\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+{\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}\,$

an. Dies führt auf

${}P=c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}+{\tilde {P}}(X-a_{1})\,,$

aus der wir ${}c_{1r_{1}}$ und ${}{\tilde {P}}$ bestimmen wollen. Da die Gleichheit insbesondere für ${}X=a_{1}$ gelten soll, muss

${}c_{1r_{1}}={\frac {P(a_{1})}{(a_{1}-a_{2})^{r_{2}}\cdots (a_{1}-a_{s})^{r_{s}}}}\,$

sein, wobei diese Division erlaubt ist, da die ${}a_{i}$ als verschieden vorausgesetzt worden sind. Wir betrachten nun

$P-c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}$

mit dem soeben bestimmten Wert ${}c_{1r_{1}}$. Für diese Differenz ist dann ${}a_{1}$ nach Konstruktion eine Nullstelle, sodass man nach Fakt durch ${}X-a_{1}$ teilen kann, also

${}P-c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}=(X-a_{1}){\tilde {P}}\,$

erhält. Dadurch ist ${}{\tilde {P}}$ eindeutig festgelegt. Der Grad von ${}{\tilde {P}}$ ist kleiner als der Grad von ${}P$ und daher ist der Grad von ${}{\tilde {P}}$ auch kleiner als der Grad von ${}{\tilde {Q}}$. Daher können wir auf ${}{\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden.

$\Box$