Komplexe Zahlen/Neilsche Parabel/Nullstellengebilde/Riemannsche Fläche/Beispiel

Wir betrachten die holomorphe Funktion ${}a_{0}(z)=z^{3}$ auf ${}{\mathbb {C} }$ und dazu das Polynom

${}t^{2}-a_{0}(z)=t^{2}-z^{3}\,.$

Das Nullstellengebilde

${}V=V(t^{2}-z^{3})\subset {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }\,$

nennt man die Neilsche Parabel. Die partiellen Ableitungen sind ${}2t$ bzw. ${}3z^{2}$, somit ist ${}(0,0)$ der einzige singuläre Punkt und das glatte Nullstellengebilde ist ${}W=V\setminus \{(0,0)\}$. Zu ${}z\neq 0$ gibt es oberhalb von ${}z$ die beiden Punkte ${}\pm {\sqrt {z^{3}}}$ und daher stimmt das glatte Nullstellengebilde mit dem unverzweigten Nullstellengebilde überein.