Komplexe Zahlen/Polynom/Abbildung auf projektiver Gerade/Lokale Gestalt/Fakt

Es sei ${}f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein nichtkonstantes Polynom vom Grad ${}k$.

Dann definiert ${}f$ eine holomorphe Abbildung ${}{\tilde {f}}\colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, die auf

${}{\mathbb {C} }={\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\setminus \{\infty \}=S^{2}\setminus \{N\}\,$

mit ${}f$ übereinstimmt, die ${}\infty$ auf ${}\infty$ abbildet und die lokal in einer offenen Umgebung von ${}\infty$ eine ${}k$-te Potenzierung ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen