Komplexe Zahlen/Polynom/Abbildung auf projektiver Gerade/Lokale Gestalt/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen ${}w=z^{-1}$, ${}Z={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid f(z)=0\right\}}$ für die endliche Nullstellenmenge von ${}f$ und ${}Z'={\left\{z^{-1}\in {\mathbb {C} }\mid f(z)=0,\,z\neq 0\right\}}$ für das Bild davon unter der Invertierungsabbildung. Auf ${}{\mathbb {C} }^{\times }\setminus Z$ kommutiert das Diagramm (${}{\tilde {f}}$ gibt es noch nicht)

${\begin{matrix}{\mathbb {C} }^{\times }\setminus Z\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }\subseteq {\mathbb {C} }&&&{\stackrel {f}{\longrightarrow }}&&&{\mathbb {C} }\supseteq {\mathbb {C} }^{\times }\\&\searrow &&&&\swarrow &\\\!\!\!\!\!z\mapsto z^{-1}\downarrow &&{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}&{\stackrel {\tilde {f}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}&&\,\,\,\,\downarrow u\mapsto u^{-1}\\&\nearrow &&&&\nwarrow &\\{\mathbb {C} }^{\times }\setminus Z'\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }\subseteq {\mathbb {C} }&&&{\stackrel {\frac {1}{f(w^{-1})}}{\longrightarrow }}&&&{\mathbb {C} }\supseteq {\mathbb {C} }^{\times }\!\!\!\!\!\end{matrix}}$

auf ${}{\mathbb {C} }^{\times }\setminus Z$. Auf ${}{\mathbb {C} }^{\times }\setminus Z'$ ist

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{f(w^{-1})}}&={\frac {w^{k}}{w^{k}f(w^{-1})}}\\&={\frac {w^{k}}{w^{k}{\left(\sum _{n=0}^{k}c_{n}w^{-n}\right)}}}\\&={\frac {w^{k}}{\sum _{n=0}^{k}c_{n}w^{k-n}}}\\&={\frac {w^{k}}{\sum _{j=0}^{k}c_{k-j}w^{j}}}.\end{aligned}}$

Wegen ${}c_{k}\neq 0$ ist das Nennerpolynom im Nullpunkt (für ${}w$) invertierbar, es sei ${}g(w)$ die inverse holomorphe Funktion dazu, also

${}{\frac {1}{f(w^{-1})}}=w^{k}g(w)\,.$

Diese Funktion kann man in den Nullpunkt (von ${}{\mathbb {C} }$ unten links, also ${}\infty$ von ${}{\mathbb {C} }$ oben links) fortsetzen mit dem Wert ${}0$, sie ist also auf einer offenen Umgebung von ${}0$ definiert und stimmt auf dem Übergang mit ${}f$ überein. Daher wird nach Fakt eine Funktion ${}{\tilde {f}}$ auf ganz ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ festgelegt. Wegen

${}g(w)\neq 0\,$

ist die lokale Gestalt ${}w^{k}$.

Zur bewiesenen Aussage