Komplexe Zahlen/Quadratwurzel/Analytische Fortsetzung/Beispiel

Wir betrachten die riemannsche Fläche ${}X={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ und den geschlossenen Weg

$\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \left(\cos t,\,\sin t\right)$

mit Anfangs- und Endpunkt ${}1$. Zu jedem Punkt ${}a\in X$ besitzt die Quadratüberlagerung (siehe Beispiel)

$X\longrightarrow X,\,w\longmapsto w^{2},$

in einer lokalen offenen Umgebung von ${}a$ zwei Schnitte. Diese sind durch Potenzreihen mit Entwicklungspunkt ${}a$ der Form

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$

gegeben, wobei

${}{\left(\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\right)}^{2}=z\,$

und ${}c_{0}^{2}=a$ gilt. Wenn man ${}c_{0}$ mit dieser letzten Bedingung fixiert, wird dadurch die gesamte Potenzreihe festgelegt. Die andere erhält man durch Negation. Wir behaupten, dass im Punkt ${}1$ die beiden Potenzreihen der Wurzel durch analytische Fortsetzung längs ${}\gamma$ auseinander hervorgehen. Dies folgt daraus, dass zu jedem Punkt auf dem Einheitskreis durch den Funktionswert bereits die gesamte Potenzreihe der Quadratwurzel festgelegt ist. Wenn man in ${}1$ mit ${}c_{0}=1$ startet, so legt dies die Potenzreihe im Entwicklungspunkt ${}1$ mit einem gewissen Konvergenzradius (nämlich ${}1$) fest. Auf den Punkten auf dem Einheitskreis innerhalb des Konvergenzradius wird dadurch der Wert festgelegt, nämlich durch die Halbierung des Winkels. Dieser Wert legt wiederum in diesen Punkten die Potenzreihen fest. So erhält man in den Punkten ${}1,{\mathrm {i} },-1,-{\mathrm {i} }$ zueinander passende Potenzreihen, deren Werte auf dem Einheitskreis durch die Halbierung des Winkels gegeben sind. Daher erhält man nach einer Volldrehung die Potenzreihe der Wurzel um ${}1$ mit dem Wert ${}-1$.