Komplexe Zahlen/Quadratwurzeln/Textabschnitt

Die imaginäre Einheit ${}{\mathrm {i} }$ hat die wichtige Eigenschaft ${}{\mathrm {i} }^{2}=-1$. Das Negative von ${}{\mathrm {i} }$ besitzt die gleiche Eigenschaft, nämlich

${}(-{\mathrm {i} })^{2}=(-1)^{2}{\mathrm {i} }^{2}=-1\,.$

Damit gibt es zu jeder negativen reellen Zahl ${}-c$ (mit ${}c$ positiv) in ${}{\mathbb {C} }$ die beiden Quadratwurzeln ${}{\sqrt {c}}{\mathrm {i} }$ und ${}-{\sqrt {c}}{\mathrm {i} }$. Im folgenden Beispiel zeigen wir, dass nicht nur jede reelle Zahl in ${}{\mathbb {C} }$ eine Quadratwurzel besitzt, sondern überhaupt jede komplexe Zahl.

Beispiel

Es sei ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ eine komplexe Zahl. Dann hat die komplexe Zahl

${}u={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(\sigma {\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\,$

mit dem Vorzeichen

${}\sigma ={\begin{cases}1,{\text{ falls }}b\geq 0\,,\\-1{\text{ falls }}b<0\,,\end{cases}}\,$

die Eigenschaft

${}u^{2}=z\,.$

Insbesondere besitzt also ${}z$ zwei Quadratwurzeln, nämlich ${}u$ und ${}-u$, die bei ${}z=0$ zusammenfallen.

Wir zeigen dies für den Fall

${}b\geq 0\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}u^{2}&={\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\right)}^{2}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\vert {z}\vert +a-{\left(\vert {z}\vert -a\right)}+2{\mathrm {i} }{\sqrt {{\left(\vert {z}\vert +a\right)}{\left(\vert {z}\vert -a\right)}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert ^{2}-a^{2}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }{\sqrt {b^{2}}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(2a+2{\mathrm {i} }b\right)}\\&=a+b{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Daraus ergibt sich, dass innerhalb von ${}{\mathbb {C} }$ jede quadratische Gleichung

${}az^{2}+bz+c=0\,$

mit ${}a,b,c\in {\mathbb {C} },\,a\neq 0$, mindestens eine komplexe Lösung besitzt, siehe Aufgabe.