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Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe
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Komplexe Zahlen
|
Real und Imaginärteil/Eigenschaften/Fakt
Beweise die folgenden Aussagen zu
Real
- und
Imaginärteil
von
komplexen Zahlen
.
Es ist
z
=
Re
(
z
)
+
Im
(
z
)
i
{\displaystyle {}z=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}{\mathrm {i} }}
.
Es ist
Re
(
z
+
w
)
=
Re
(
z
)
+
Re
(
w
)
{\displaystyle {}\operatorname {Re} \,{\left(z+w\right)}=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Re} \,{\left(w\right)}}
.
Es ist
Im
(
z
+
w
)
=
Im
(
z
)
+
Im
(
w
)
{\displaystyle {}\operatorname {Im} \,{\left(z+w\right)}=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}+\operatorname {Im} \,{\left(w\right)}}
.
Für
r
∈
R
{\displaystyle {}r\in \mathbb {R} }
ist
Re
(
r
z
)
=
r
Re
(
z
)
und
Im
(
r
z
)
=
r
Im
(
z
)
.
{\displaystyle \operatorname {Re} \,{\left(rz\right)}=r\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}{\text{ und }}\operatorname {Im} \,{\left(rz\right)}=r\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}.}
Es ist
z
=
Re
(
z
)
{\displaystyle {}z=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}}
genau dann, wenn
z
∈
R
{\displaystyle {}z\in \mathbb {R} }
ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn
Im
(
z
)
=
0
{\displaystyle {}\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=0}
ist.
Zur Lösung
,
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