Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien im folgendem jeweils z = a + b·i, w = c + d·i mit a,b,c,d aus den komplexen Zahlen. Dann gilt:
1. z = a + bi = Re(z) + Im(z)*i.
2. Re(z + w) = Re(a + bi + c + di) = Re((a + c) + i(b + d)) = a + c = Re(a + bi) + Re(c + di) = Re(z) + Re(w).
3. Im(z + w) = Im(a + bi + c + di) = Im((a + c) + i(b + d)) = b + d = Im(a + bi) + Im(c + di) = Im(z) + Im(w).
4. Sei r aus den reellen Zahlen, dann gilt

 Re(rz) = Re(r(a + bi)) = Re(ra + rbi) = ra = rRe(z) und

 Im(rz) = Im(r(a + bi)) = Im(ra + rbi) = rb = rIm(z)

5. Seien A,B,C die drei Aussagen.

  [A => B] Es gelte z = Re(z) => z = Re(a + bi) = a, also z ist reell.

  [B => C] Es sei z reell. Dann gilt Im(z) = Im(z + 0·i) = 0.

  [C => A] Es sei Im(z) = 0. Dann gilt b = 0 also z = a = Re(z).