Wir zeigen die Dreiecksungleichung, für die anderen Aussagen siehe Aufgabe. Zunächst gilt nach (7) für jede komplexe Zahl u {\displaystyle {}u} die Abschätzung Re ( u ) ≤ | u | {\displaystyle {}\operatorname {Re} \,{\left(u\right)}\leq \vert {u}\vert } . Daher ist
und somit ist
Durch Wurzelziehen ergibt sich die gewünschte Abschätzung.