Komplexe Zahlen/Reell differenzierbare Abbildung/dz konjugiert/Rückzug/Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und sei

$\varphi \colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(u,v)\longmapsto \varphi (u,v)=\varphi _{1}(u,v)+{\mathrm {i} }\varphi _{2}(u,v)=x+{\mathrm {i} }y=z,$

eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass für den Rückzug ${}\varphi ^{*}d{\overline {z}}$ gilt (mit ${}w=u+{\mathrm {i} }v$)

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(d{\overline {z}})&={\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial u}}du+{\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial v}}dv\\&={\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial w}}dw+{\frac {\partial {\overline {\varphi }}}{\partial {\overline {w}}}}d{\overline {w}}.\end{aligned}}$

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen