Komplexer Torus/Holomorphe Differentialform/Periodengitter/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist ${}X={\mathbb {C} }/\Gamma$ mit einem Gitter ${}\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ und der Projektion ${}p\colon {\mathbb {C} }\rightarrow X$. Die Fundamentalgruppe von ${}X$ ist ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$, als Erzeuger kann man die Bilder der beiden Wege

$\gamma _{1}\colon [0,1]\longrightarrow X,\,t\longmapsto [tv_{1}],$

und

$\gamma _{2}\colon [0,1]\longrightarrow X,\,t\longmapsto [tv_{2}],$

wählen. Die Bildgruppe ${}{\left\{\int _{\gamma }\omega \mid \gamma \in \pi _{1}(X)\right\}}$ wird von ${}\int _{\gamma _{1}}\omega$ und ${}\int _{\gamma _{2}}\omega$ erzeugt. Es ist ${}\Gamma (X,\Omega _{X})$ nach Fakt eindimensional und wird von ${}dz$ erzeugt, wobei ${}z$ die Variable auf ${}{\mathbb {C} }$ sei und die Differentialform ${}dz$ auf ${}{\mathbb {C} }$ sich wegen der Invarianz nach unten drückt. Daher ist ${}\omega =sdz$ mit einem ${}s\in {\mathbb {C} }$, ${}s\neq 0$. Es ist somit unter Verwendung von Fakt

${}\int _{\gamma _{1}}\omega =\int _{t\mapsto tv_{1}}p^{*}\omega =\int _{t\mapsto tv_{1}}sdz=\int _{0}^{1}sv_{1}dt=sv_{1}\,$

und ebenso

${}\int _{\gamma _{2}}\omega =sv_{2}\,.$

Also wird unter der Multiplikation mit ${}s$, also ${}s\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$, ${}z\longmapsto sz$, das Gitter ${}\Gamma$ in das Periodengitter ${}P$ überführt und nach Fakt sind ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ und ${}{\mathbb {C} }/P$ äquivalent.

Zur bewiesenen Aussage