Wir betrachten das komplexe Quadrieren
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In reellen Koordinaten ist dies die differenzierbare Abbildung
-
Diese Abbildung ist wegen
nicht injektiv. Allerdings ist die Einschränkung auf die positive Halbebene
injektiv, und das Bild davon ist
(also die Ebene ohne die negative reelle Achse).
Die
Jacobi-Matrix
von ist
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mit der
Jacobi-Determinante
-
Wir möchten den Flächeninhalt des Bildes
des Einheitsquadrates
unter dieser Abbildung berechnen
(die eine Seite des Einheitsquadrates gehört nicht zu , dieser Rand ist aber eine
Nullmenge
nach Fakt
und daher für den Flächeninhalt und die Integration unerheblich).
Aufgrund von
Fakt
ist dann