Konstruierbare Zahl/sqrt(3) und sqrt(1+sqrt(3))/Zerfällungskörper nicht abelsch/Bemerkung

Wir betrachten die konstruierbare Zahl ${}u={\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}$ und knüpfen dabei an Fakt an. Dort wurde gezeigt, dass ${}u$ das Minimalpolynom ${}X^{4}-2X^{2}-2$ besitzt, welches über ${}L=\mathbb {Q} [u]$ die Primfaktorzerlegung

${}{\begin{aligned}X^{4}-2X^{2}-2&=(X-u)(X+u){\left(X^{2}-1+{\sqrt {3}}\right)}\\\end{aligned}}$

besitzt. Insbesondere ist ${}L$ nicht normal, der Zerfällungskörper ist vielmehr ${}Z=L[{\sqrt {1-{\sqrt {3}}}}]$ und hat den Grad ${}8$ über ${}\mathbb {Q}$. Seine Galoisgruppe ist nicht abelsch, denn andernfalls wäre jeder Zwischenkörper nach Fakt  (1) eine Galoiserweiterung von ${}\mathbb {Q}$, was aber für ${}L$ nicht zutrifft.