Konstruktion von Z/Aus NxN/Aufgabe/Lösung

Die Relation ist trivialerweise reflexiv, da die Addition in ${}\mathbb {N}$ kommutativ ist. Auch die Symmetrie ist direkt klar. Zur Transitivität sei

$(a,b)\sim (c,d){\text{ und }}(c,d)\sim (e,f),$

d.h.

$a+d=b+c{\text{ und }}c+f=d+e.$

Damit ist insgesamt

$a+d+f=b+c+f=b+d+e.$

Hier können wir beidseitig ${}d$ abziehen und erhalten ${}a+f=b+e$, was ${}(a,b)\sim (e,f)$ bedeutet.

Wir definieren nun die Addition durch

${\overline {(a,b)}}\oplus {\overline {(c,d)}}={\overline {(a+c,b+d)}}.$

Wir müssen zeigen, dass diese Addition wohldefiniert ist. Sei dazu

$(a,b)\sim (a',b'),{\text{ also }}a+b'=a'+b$

und

$(c,d)\sim (c',d'),{\text{ also }}c+d'=c'+d.$

Wir müssen zeigen, dass

$(a+c,b+d)\sim (a'+c',b'+d')$

ist. Dies folgt aber aus

${}a+c+b'+d'=a+b'+c+d'=a'+b+c'+d=a'+c'+b+d\,.$

Wenn die hintere Komponente beidesmal ${}0$ ist, so wird in der ersten Komponente einfach wie in ${}\mathbb {N}$ addiert. Die Verknüpfung ist assoziativ, da die komponentenweise Addition auf der Produktmenge assoziativ ist und sich dies auf die Verknüpfung auf den Äquivalenzklassen überträgt. Daraus folgt auch sofort, dass ${}{\overline {(0,0)}}$ das neutrale Element ist. Die Kommutativität der Verknüpfung ist ebenfalls klar. Zu einem Element ${}{\overline {(a,b)}}$ ist

${\overline {(b,a)}}$

das inverse Element. Es ist ja

${\overline {(a,b)}}\oplus {\overline {(b,a)}}={\overline {(a+b,a+b)}}={\overline {(0,0)}},$

wobei die letzte Gleichung sich direkt aus der Definition der

Relation ${}\sim$ ergibt.

Zur gelösten Aufgabe