Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßige n-Ecke/Charakterisierung mit Fermatsche Primzahlen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}n=2^{\alpha }p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$ die Primfaktorzerlegung von ${}n$ mit den verschiedenen ungeraden Primzahlen ${}p_{i}$, ${}i=1,\ldots ,k$, und positiven Exponenten ${}r_{i}\geq 1$ (und ${}\alpha \geq 0$). Nach Fakt muss die eulersche Funktion eine Zweierpotenz sein, also

${}{\varphi (n)}=2^{t}\,.$

Andererseits gilt nach Fakt die Beziehung

${}{\varphi (n)}=2^{\alpha -1}(p_{1}-1)p_{1}^{r_{1}-1}\cdots (p_{k}-1)p_{k}^{r_{k}-1}\,$

(bei ${}\alpha =0$ ist der Ausdruck ${}2^{\alpha -1}$ zu streichen). Da dies eine Zweierpotenz sein muss, dürfen die ungeraden Primzahlen nur mit einem Exponenten ${}1$ (oder ${}0$) auftreten. Ferner muss jede beteiligte Primzahl ${}p$ die Gestalt ${}p=2^{s}+1$ haben, also eine Fermatsche Primzahl sein.
Für die andere Richtung muss man aufgrund von Fakt lediglich zeigen, dass für eine Fermatsche Primzahl ${}p=2^{s}+1$ das regelmäßige ${}p$-Eck konstruierbar ist. Der ${}p$-te Kreisteilungskörper besitzt nach Fakt den Grad ${}p-1=2^{s}$, und dieser ist der Zerfällungskörper des ${}p$-ten Kreisteilungspolynoms und wird von der ${}p$-ten primitiven Einheitswurzel ${}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/p}$ erzeugt. Aufgrund von Fakt ist somit ${}\zeta$ konstruierbar.

Zur bewiesenen Aussage