Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßige n-Ecke/Charakterisierung mit Fermatsche Primzahlen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei die Primfaktorzerlegung von mit den verschiedenen ungeraden Primzahlen , , und positiven Exponenten (und ). Nach Fakt muss die eulersche Funktion eine Zweierpotenz sein, also

Andererseits gilt nach Fakt die Beziehung

(bei ist der Ausdruck zu streichen). Da dies eine Zweierpotenz sein muss, dürfen die ungeraden Primzahlen nur mit einem Exponenten (oder ) auftreten. Ferner muss jede beteiligte Primzahl die Gestalt haben, also eine Fermatsche Primzahl sein.
Für die andere Richtung muss man aufgrund von Fakt lediglich zeigen, dass für eine Fermatsche Primzahl das regelmäßige -Eck konstruierbar ist. Der -te Kreisteilungskörper besitzt nach Fakt den Grad , und dieser ist der Zerfällungskörper des -ten Kreisteilungspolynoms und wird von der -ten primitiven Einheitswurzel erzeugt. Aufgrund von Fakt ist somit konstruierbar.