Konvergente Reihe/Nicht absolut konvergent/Alternierende Stammbruchreihe/Wert/Beispiel

Eine konvergente Reihe muss nicht absolut konvergieren, d.h. Fakt lässt sich nicht umkehren. Aufgrund des Leibnizkriteriums konvergiert die alternierende harmonische Reihe

${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\ldots \,,$

und zwar ist ihr Grenzwert ${}\ln 2$, was wir hier aber nicht beweisen. Die zugehörige absolute Reihe ist aber die harmonische Reihe, die nach Beispiel divergiert.