Kreis/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Cech/Beispiel

Wir betrachten auf dem Kreis ${}S^{1}$ die Überdeckung mit zwei offenen (zu reellen Intervallen homöomorphen) Kreissegmenten ${}S^{1}=U_{1}\cup U_{2}$, deren Durchschnitt ${}U_{1}\cap U_{2}=S\cup T$ die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen ist. Es sei ${}G$ eine diskrete topologische Gruppe und ${}{\mathcal {G}}$ die Garbe der stetigen also lokal konstanten ${}G$-wertigen Funktionen auf dem Kreis. Auf ${}U_{1}$ bzw. ${}U_{2}$ und ebenso auf ${}S^{1}$ sind die lokal-konstanten Funktionen konstant. Auf ${}S\cup T$ hingegen ist eine lokal konstante Funktion dadurch gegeben, dass auf ${}S$ und davon unabhängig auf ${}T$ ein konstanter Wert vorgegeben ist. Der relevante Čech-Komplex ist daher

$\Gamma {\left(U_{1},{\mathcal {G}}\right)}\times \Gamma {\left(U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{1}\cap U_{2},{\mathcal {G}}\right)}\cong G\times G\longrightarrow 0,$

wobei ${}(f,g)$ auf ${}g-f$ (auf beiden Zusammenhangskomponenten) abgebildet wird. Dabei werden genau die lokal konstanten Funktionen auf ${}S\cup T$ erreicht, die konstant sind. Die erste Čech-Kohomologie ist daher ${}{\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},{\mathcal {G}})\cong G$.