Kreisbogen/Umgehung/Zurückweichung/Textabschnitt

Die Person ${}A$ befindet sich in ${}(1,0)$ und möchte nach ${}(-1,0)$ , wobei zur Person ${}B$ , die sich im Nullpunkt befindet, ein Mindestabstand von

{}s\leq 1\,.

Bestimme den minimalen Weg.

Die Person ${}A$ darf sich nicht innerhalb des Kreises mit Radius ${}0$ um den Nullpunkt bewegen. Der kürzeste Weg ergibt sich daher, wenn ${}A$ such zuerst auf einer Geraden, die tangential zu diesem Kreis ist, bewegt, in den Kreis einbiegt und diesen dann wieder tangential verlässt (alles ist symmetrisch zur ${}x$ -Achse). Sei ${}(x,y)$ der Punkt des Kreises, wo der Weg von ${}A$ in den Kreis einbiegt. Dann müssen ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ senkrecht aufeinander stehen. Dies führt auf die Bedingung

{}{\begin{aligned}\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}x-1\\y\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=x^{2}-x+y^{2}\\&=0.\end{aligned}}

Wegen der Kreisbedingung

{}x^{2}+y^{2}=s^{2}\,

folgt

{}x=s^{2}\,

und

{}y=s{\sqrt {1-s^{2}}}\,.

Der Winkel ${}\alpha$ zu diesem Punkt ist durch

{}\sin \alpha =s{\sqrt {1-s^{2}}}\,

gegeben. Die Länge des Weges auf dem Kreisbogen ist daher

2s{\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)}

und der Weg auf der geraden Anfangsstrecke ist

{}{\sqrt {(1-s)^{2}-s^{2}}}={\sqrt {1-2s}}\,.

Die zurückgelegte Gesamtstrecke ist daher

{}2s{\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)}+2{\sqrt {1-2s}}=2s{\left({\frac {\pi }{2}}-\arcsin \left(s{\sqrt {1-s^{2}}}\right)\right)}+2{\sqrt {1-2s}}\,

Die Person ${}A$ befindet sich in ${}(1,0)$ und möchte nach ${}(-1,0)$ , wobei zur Person ${}B$ , die sich im Nullpunkt befindet, ein Mindestabstand von ${}1$ einzuhalten ist. Person ${}B$ ist bereit, sich zuerst auf ${}(0,-b)$ zurückzuziehen ( ${}0\leq b\leq 1$ ), um den Weg von ${}A$ etwas zu verkürzen, zum Schluss geht ${}B$ wieder auf ihre Ausgangsposition zurück.

Der Mittelpunkt des Kreises, den ${}A$ nicht betreten darf, ist

(0,-b).

Person läuft zuerst einen linearen Weg, der tangential zu diesem Kreis ist, biegt dann in diesen Kreis ein und verlässt ihn wieder tangential (alles ist symmetrisch zur ${}x$ -Achse). Sei ${}(x,y)$ der Punkt des Kreises, wo der Weg von ${}A$ in den Kreis einbiegt. Dann müssen ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\-b\end{pmatrix}}$ senkrecht aufeinander stehen. Dies führt auf die Bedingung

{}{\begin{aligned}\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\-b\end{pmatrix}}\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}x-1\\y\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x\\y+b\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=x^{2}-x+y^{2}+by.\end{aligned}}

Wegen der Radiusbedingung

{}x^{2}+(y+b)^{2}=1\,

ist dies gleich

{}x^{2}-x+y^{2}+by=1-(y+b)^{2}-x+y^{2}+by=1-by-b^{2}-x=0\,.

Somit ist

{}x=1-by-b^{2}=1-b({\sqrt {1-x^{2}}}-b)-b^{2}=1-b{\sqrt {1-x^{2}}}\,.

Dies führt auf

{}x-1=-b{\sqrt {1-x^{2}}}\,

bzw. auf

{}(x-1)^{2}=b^{2}(1-x^{2})\,

und somit auf die quadratische Gleichung

{}(1+b^{2})x^{2}-2x+1-b^{2}=0\,

mit den Lösungen

{}x={\frac {1\pm b^{2}}{1+b^{2}}}\,,

wobei die Lösung

{}x=1\,

irrelevant ist, da sie den Nullvektor repräsentiert.

Variante

Beispiel

Person ${}A$ will von ${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ nach ${}{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}$ und Person ${}B$ will von ${}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ nach ${}{\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}$ . Dabei ist die Abstandsbedingung von ${}1$ einzuhalten, d.h. zu jedem Zeitpunkt muss der Abstand zwischen den beiden Personen zumindest ${}1$ betragen. Die Bewegungen sollen gleichzeitig stattfinden und die Bewegung von ${}B$ soll die um ${}90$ Grad gegen den Uhrzeigersinn gedrehte Bewegung von ${}A$ sein. Beide Personen sind also gleichberechtigt. Wir interessieren uns für die Länge des Weges, die die beiden Personen zusammen zurücklegen.

Die Bewegung von ${}A$ ist rot, die von ${}B$ ist blau, wo sich die Bewegungen zeitversetzt überschneiden, ist die Bewegung violett eingezeichnet.

Die runde Verbindung.

Wenn sie sich beide auf dem Kreis mit Radius ${}1$ und dem Ursprung als Mittelpunkt bewegen, so halten sie konstant den Abstand ${}{\sqrt {2}}$ ein. Die Gesamtlänge des Weges beider Personen zusammen ist ${}2\pi$ .

Die eckige Verbindung.

${}A$ geht linear nach ${}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ und von dort zum Ziel, ${}B$ läuft über ${}{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}$ . Die Halbbewegung von ${}A$ wird somit durch

{}\gamma (t)={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-t\\t\end{pmatrix}}\,

beschrieben, die von ${}B$ durch

{}\varphi (t)={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-t\\1-t\end{pmatrix}}\,.

Der Abstandsvektor der beiden Punkte zum Zeitpunkt ${}t$ ist

{}{\begin{pmatrix}1-t\\t\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-t\\1-t\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2t-1\end{pmatrix}}\,

mit dem Abstand ${}{\sqrt {2-4t+4t^{2}}}$ . Dieser ist stets ${}\geq 1$ und bei ${}t={\frac {1}{2}}$ genau gleich ${}1$ . Die insgesamt zurückgelegte Strecke ist

{}4{\sqrt {2}}\sim 5,657\,,

was kleiner als ${}2\pi$ ist.

Die gierige Strategie

Beide Personen laufen direkt auf ihr jeweiliges Ziel zu, bis sie zueinander den Abstand ${}1$ haben, und gehen dann in eine Kreisbewegung über, bis sie diese auf ihrer Achse wieder verlassen.

Der innere Kreis ist dabei durch die Radiusbedingung

{}2s^{2}=1\,

festgelegt, da ja die beiden um ${}{\frac {\pi }{2}}$ gedrehten Punkte den Abstand ${}1$ haben müssen. Also ist

{}s={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.

Der Weg von ${}A$ besitzt somit die Länge

{}2(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}})+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\pi =2+{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\pi -2)\sim 2,801\,,

der Weg der beiden Personen ist somit ungefähr ${}5,602$ .

Optimale Strategie

Der innere Kreis von eben wird beibehalten, man nähert sich ihm aber tangential an.

Jetzt laufen beide auf einem Kreisbogen, und zwar mit dem Mittelpunkt ${}{\begin{pmatrix}0\\-c\end{pmatrix}}$ (für ${}A$ ) bzw. ${}{\begin{pmatrix}c\\0\end{pmatrix}}$ ( ${}c\geq 0$ ) und dem Radius, der durch die Anfangspunkte festgelegt ist.